NGƯỜI VIỄN ĐÔNG

Nơi chia sẻ và lưu giữ các bài viết của Nam Nguyen

Chứng minh toán học nổi bật xóa bỏ các rào cản trong giả thuyết hàng đầu của Paul Erdős


 

(Dành cho người yêu khoa học)

 

Hai nhà toán học đã giải được phần đầu tiên của một trong những giả thuyết nổi tiếng nhất về cộng tính của các số nguyên. Được đề xuất hơn 60 năm trước bởi nhà toán học huyền thoại người Hungary Paul Erdős, giả thuyết hỏi khi nào thì một tập hợp vô cùng các số nguyên sẽ chắc chắn chứa các bộ số gồm ít nhất ba số cách đều nhau, chẳng hạn như 26, 29 và 32.

 

Erdős đã đặt ra hàng ngàn vấn đề trong suốt sự nghiệp của mình, nhưng câu hỏi về tập hợp số nào chứa các số cách đều nhau (cái mà các nhà toán học gọi là cấp số cộng) là một trong những vấn đề yêu thích nhất của ông. “Tôi nghĩ rằng nhiều người coi đó là vấn đề số một của Erdős”, ông Timothy Gowers thuộc Đại học Cambridge nói. Gowers, người từng giành được Huy chương Fields năm 1998, đã dành nhiều giờ cố gắng để giải quyết nó. Ông nói khi đề cập đến một lĩnh vực trong toán học rằng “Bất kỳ chuyên gia toán tổ hợp cộng gộp nào có tham vọng đều đã thử sức với nó”.

 

Theo quy tắc, một tập hợp các số dày đặc hơn có cơ hội chứa các cấp số cộng cao hơn so với một tập hợp số thưa hơn, vì vậy Erdős đã đề xuất một bài kiểm tra mật độ đơn giản: Chỉ cần thêm các số nghịch đảo của các số trong danh sách. Nếu các số đủ nhiều để làm cho tổng này vô cùng, Erdős giả thuyết rằng tập hợp số đó sẽ chứa rất nhiều cấp số cộng có độ dài hữu hạn – bộ ba, bộ bốn, v.v.

 

Hiện nay, trong một bài báo được đăng trực tuyến vào ngày 7 tháng 7, Thomas Bloom của trường Cambridge và Olof Sisask từ Đại học Stockholm đã chứng minh giả thuyết khi nói về các bộ ba cách đều nhau, như 5, 7 và 9. Hai người đã chỉ ra rằng bất cứ khi nào tổng của các số nghịch đảo của một tập hợp số là vô cùng, nó phải chứa rất nhiều bộ ba cách đều nhau.

 

“Kết quả này là một mục tiêu mang tính bước ngoặt trong nhiều năm,” theo ông Nets Katz thuộc Viện Công nghệ California. "Đây là một vấn đề lớn."

 

Một tập hợp có tổng các số nghịch đảo của chúng bằng vô cùng là các số nguyên tố, các số đó chỉ chia hết cho 1 và chính chúng. Vào những năm 1930, Johannes van der Corput đã sử dụng cấu trúc đặc biệt của các số nguyên tố để cho thấy rằng chúng thực sự chứa vô số bộ ba cách đều nhau (như 17, 23 và 29).

 

 

 

Nhưng phát hiện mới của Bloom và Sisask nói lên rằng bạn không cần kiến thức sâu về cấu trúc độc đáo của số nguyên tố để chứng minh rằng chúng chứa vô số bộ ba. Tất cả những gì bạn cần biết là số nguyên tố đủ dồi dào để tổng các số nghịch đảo của chúng là vô cùng - một thực tế mà các nhà toán học đã biết nhiều thế kỷ. “Kết quả của Thomas Thomas và Olof cho chúng ta biết rằng ngay cả khi các số nguyên tố có cấu trúc hoàn toàn khác với cấu trúc mà chúng thực sự có, thì thực tế là có nhiều số nguyên tố để đảm bảo có vô số các cấp số cộng”, Tom Sanders thuộc Đại học Oxford đã viết trong một email.

 

Bài viết mới dài 77 trang và sẽ cần thời gian để các nhà toán học kiểm tra cẩn thận. Nhưng nhiều người cảm thấy lạc quan rằng nó là chính xác. “Thực sự trông giống như một bằng chứng về kết quả này”, Katz nói, người mà công việc trước đó đã đặt nhiều nền tảng cho kết quả mới này.

 

Định lý của Bloom và Sisask ngụ ý rằng miễn là tập hợp số của bạn đủ dày đặc, những bộ số nhất định phải xuất hiện. Phát hiện này tuân theo những gì Sarah Peluse ở Oxford gọi là khẩu hiệu cơ bản của lĩnh vực toán học này (ban đầu được tuyên bố bởi Theodore Motzkin): “Rối loạn hoàn toàn là không thể”

 

Mật độ ngụy trang

 

Rất dễ dàng tạo một tập hợp số vô hạn mà không có một cấp số cộng nào nếu bạn làm cho tập hợp số đó đủ thưa thớt. Ví dụ, hãy xem xét dãy số 1, 10, 100, 1.000, 10.000,…(có tổng các số nghịch đảo là số thập phân hữu hạn 1.11111…). Những con số này lan truyền nhanh đến mức bạn không bao giờ có thể tìm thấy ba số cách đều nhau.

 

Tuy vậy, bạn có thể tự hỏi, liệu có các bộ số dày đặc hơn đáng kể mà vẫn không chứa các cấp số cộng. Ví dụ, bạn có thể đi dọc theo trục số và giữ cho từng số không tạo thành một cấp số cộng. Điều này tạo ra chuỗi 1, 2, 4, 5, 10, 11, 13, 14,…, ban đầu trông khá dày đặc. Nhưng nó trở nên cực kỳ thưa khi bạn chuyển sang các số cao hơn - ví dụ, vào thời điểm bạn tới được các số có 20 chữ số, chỉ có khoảng 0,000009% các số nguyên có trong dãy số của bạn. Vào năm 1946, Felix Behrend đã nghĩ ra các ví dụ dày đặc hơn, nhưng nó nhanh chóng trở nên thưa thớt - một bộ số của Behrend có tới 20 chữ số chứa khoảng 0,001% số nguyên.

 

Ở một thái cực khác, nếu tập hợp số của bạn bao gồm gần như toàn bộ các số nguyên, nó chắc chắn sẽ chứa các cấp số cộng. Nhưng giữa những thái cực này là một khoảng rộng lớn, phần lớn chưa được khám phá. Bạn có thể làm cho tập hợp số thưa thớt đến chừng nào, các nhà toán học đã tự hỏi, và vẫn chắc chắn rằng nó sẽ có các cấp số cộng?

 

Erdős (một số người nói có lẽ hợp tác với nhà toán học Hungary Pál Turán) đã cung cấp một câu trả lời có tiềm năng. Điều kiện của ông về tổng các số nghịch đảo là một tuyên bố về mật độ được ngụy trang: Hóa ra là giống nhau khi nói rằng mật độ của dãy số của bạn lên đến bất kỳ số N nào bằng ít nhất là khoảng 1 trên số chữ số trong N. Nói cách khác, dãy số của bạn sẽ càng ngày càng thưa, nhưng chỉ khi tốc độ thưa chậm: Lên đến các số có 5 chữ số, dãy số sẽ có mật độ ít nhất khoảng 1/5; lên đến 20 chữ số, nó phải có mật độ ít nhất là khoảng 1/20; vv… Với điều kiện mật độ này được đáp ứng, Erdős giả thuyết, dãy số của bạn sẽ chứa vô số cấp số cộng với mọi độ dài.

 

Năm 1953, Klaus Roth chuẩn bị các nhà toán học để tiến tới việc chứng minh giả thuyết của Erdős. Trong công việc đã giúp anh ta nhận được Huy chương Fields năm năm sau đó anh ta đã thiết lập một hàm mật độ đảm bảo các bộ ba cách đều nhau - không phải là mật độ thấp như của Erdős, nhưng vẫn tới gần đến 0 khi bạn đi dọc theo dãy số. Định lý Roth có nghĩa là một tập hợp các số mà mật độ của chúng cuối cùng trượt xuống dưới 1%, và sau đó dưới 0,1%, và dưới 0,01%, v.v., phải chứa các cấp số cộng miễn là nó trượt xuống dưới các ngưỡng đó đủ chậm.

 

Cách tiếp cận của Roth, trước hết, dựa trên thực tế là hầu hết các dãy số với mật độ đã chọn của anh ấy đều “muốn” có cấp số cộng - chúng có đủ các cặp số khác nhau mà gần như chắc chắn, một số trung điểm giữa các cặp này cũng sẽ thuộc danh sách, tạo ra các bộ ba cách đều nhau. Phần khó khăn là làm thế nào để đi từ “hầu hết các dãy số” đến “tất cả các dãy số”, ngay cả những dãy số có cấu trúc có thể được đặc biệt điều chỉnh để cố gắng tránh cấp số cộng.

 

Đưa ra một trong những dãy số đã được cấu trúc này, Roth đã có ý tưởng chắt lọc cấu trúc của nó bằng cách ghi lại “phổ tần số” của nó, sử dụng cái mà gọi là Biến đổi Fourier. Điều này phát hiện xem các patterns lặp lại nào xuất hiện đặc biệt dày đặc - đó là toán học làm nền tảng cho các công nghệ như tinh thể học tia X và quang phổ vô tuyến.

 

Một số tần số sẽ hiển thị mạnh hơn các tần số khác và các biến thể này làm nổi bật các patterns - ví dụ: tần số mạnh có thể chỉ ra rằng dãy số chứa nhiều số lẻ hơn số chẵn. Nếu vậy, bạn chỉ có thể tập trung vào các số lẻ và bây giờ bạn có một bộ số dày đặc hơn (liên quan đến tất cả các số lẻ) so với bộ ban đầu (liên quan đến tất cả các số). Roth đã có thể chỉ ra rằng sau một số lần lọc như vậy, bạn có một tập hợp dày đặc đến mức nó chắc chắn chứa các cấp số cộng.

 

Phương pháp của Jacob Fox đã tạo cảm hứng cho nhiều phát triển trong lý thuyết số giải tích trong nửa thế kỷ qua, Jacob Fox thuộc Đại học Stanford cho biết. “Đây là những ý tưởng rất có ảnh hưởng.”

 

Game, Set, Match

 

Lập luận của Roth Lau chỉ hoạt động đối với các tập hợp khá dày đặc - nếu không, các lần chưng cất lặp đi lặp lại chỉ đơn giản làm cho tập hợp số bốc hơi. Các nhà toán học khác dần dần tìm ra cách để vắt thêm nước trái cây từ phương pháp Roth, nhưng họ không thể giảm được mật độ như trong giải thuyết của Erdős. Fox nói “Có vẻ đây là một rào cản rất khó để vượt qua”.

 

Sau đó vào năm 2011, Katz và Michael Bateman đã tìm ra cách vượt qua rào cản này bằng cách đơn giản hơn: trò chơi với bài, trong đó bạn tìm kiếm bộ ba thẻ bài có hình phù hợp. Có một cách chính xác trong đó bộ ba kết hợp có thể được coi là một cấp số cộng, và giống như với tập hợp các số nguyên, bạn có thể hỏi phần nào của các thẻ bạn phải đặt xuống để chắc chắn tìm thấy ít nhất một bộ ba.

 

Câu hỏi này (không chỉ về trò chơi tiêu chuẩn mà còn về các phiên bản lớn với nhiều thẻ bài hơn) là một mô hình đồ chơi tự nhiên cho câu hỏi tương ứng về số nguyên. Vì vậy, các nhà toán học hy vọng rằng bước đột phá của Bateman và Katz có thể mở ra một con đường để chứng minh giả thuyết của Erdős, đặc biệt là khi được kết hợp với những tiến bộ gần đây khác. Ngay sau khi bài viết của Bateman và Katz ra, Gowers đã triệu tập một dự án Polymath - một sự hợp tác trực tuyến lớn - để thực hiện nỗ lực này.

 

Nhưng dự án nhanh chóng dừng lại. “Có rất nhiều mức độ tranh luận về kỹ thuật,” ông Gowers nói. “Đây là một dự án phù hợp với một hoặc hai cá nhân làm việc miệt mài trong một thời gian dài.”